RELASI ANTAR HIMPUNAN
RELASI ANTAR HIMPUNAN
1. Kesamaan Himpunan
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari himpunan B dan setiap anggota B merupakan anggota dari himpunan A atau AÌ B dan B Ì A bisanya ditulis dengan A = B dibaca (A himpunan bagian dari B).
Contoh :
a. A= {1,2,3,4,5}dan B = {3, 4, 5, 2,1}, maka himpunan A = himpunan B atau A = B, maka {1 , 2, 3, 4, 5}= i3, 4, 5, 2, 1}, karena setiap anggota A juga menjadi anggota B dan setiap anggota B juga menjadi anggota A.
b. Jika A = {0, 1} dan B = {x | x (x-1) = 0}, maka, A = B.
c. Jika A = {3, 5, 8, 5 }dan B = {5, 3, I}, maka A = B.
Catatan
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka 4 ≠ B.
Notasi : A = B ↔ A Í B dan B Í A.
2. Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota dari B.
a. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }dan B = { 0, 5, 6, 7, 8 }, maka himpunan A dan himpunan B berpotongan, karena ada anggota A menjadi anggota B yakni 5.
b. Diketahui D = { x | x2 + 3x + 2 = 0) dan E = { x | x2 - x - 6 = 0 }, karena nilai D = { -1 , -2 }dan E = { -2, 3 }, jadi ada anggota D menjadi anggota E yakni -2, maka D berpotongan dengan E.
Dalam Diagram Venn untuk Contoh 1
A berpotongon B
Catatan
Dibeberapa buku himpunan yang berpotongan juga disebut himpunan bersekutu
3. Himpunan Lepas
Dikatakan dua Himpunan A dan B lepas jika dan hanya jika kedua himpunan tersebui tidak ada anggota keduanya sama, A dan B lepas biasanya ditulis (A || B)
Contoh:
a. X = himpunan bilangan bulat positif dan Y = himpunan bilangan bulat negatif, karena anggota X tidak ada yang menjadi anggota di Y maka X dan Y dikatakan Lepas (X || Y)
b. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 }dan B = { 6, 7, 8, 9 }karena anggota A tidak ada yang menjadi anggota B, maka A lepas dengan B atau (A || B)
Dalam diagram Venn untuk contoh 2
(A || B)
Catatan
Pada betapa buku himpunan yang lepas disebut himpunan disjoint dan dinotasikan dengan (A // B).
4. HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A disebut himpunan B bagian (subset) dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.
Relasi ini dinyatakan dengan notasi A c B (baca A himpunan bagian atau subset dari ). Buku teks ini menggunakan kedua istilah tersebut.
Contoh :
1. C = {1,2,3} adalah himpunan bagian dari Q = {1,3,5,7,9} karena 1,3,5 yang yang anggota C juga menjadi anggota Q.maka dapat di tulis C c Q.
2. Dik D = { a,i,o,e} dan E = {i,a,e,o}. Karena a,i,o,e yang menjadi anggota D juga menjadi E,maka dapat di tulis D c E.
3.Dik G = {bilangan bulat genap} dan B + {bilangan bulat}. Maka G c B
5.HIMPUNAN YANG EKIVALEN
Dua himpunan A dan B di katakan ekivalen (ditulis A∞B) jika himpunan banyak anggota kedua himpunan itu sama.
Contoh :
1. Tentukan P = {1,2,3} dan Q = {a,b,c}, maka P ∞ Q karena n(P) = n (Q)
OPERASI HIMPUNAN
Operasi Himpunan
Jenis Operasi
Hukum dan sifat-sifat Operasi
1
Gabunan (Union)
A U B = B U A disebut sifat komutatif gabungan
(A U B) U C = A U (B U C) disebut sifat asosiatif gabungan
A UØ = A
A U U = U
A U A = A
A U A’ = U Disebut sifat komplemen gabungan
2
Irisan (intersection)
A W B = B W A disebut sifat komutatif irisan
A W A = A
A W = Ø
A W U = A
A W A’ = Ø disebut sifat komplemen irisan
(A W B) W C = A W (B W A) disebut sifat asosiatif irisan
2
Distributif
A U (B W C) = (A U B) W (A U C); disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan.
A W (B U C) = (A W B) U (A W C); disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.
3
Selisih
A – A = Ø
A – Ø = A
A – B = A W B’
A – (BUC) = (A – B)W (A – C)
A – (B W C) = (A – B)U(A – C)
4
Komplemen
(A’)’ = A
U’ = Ø
Ø’ = U
AUA’ = U
AWA’ = U
AWA’= Ø
5
Banyaknya Anggota
n(A) + n(B) K n(AUB)
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AWB)
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AWB) – n(BWC) – n(CWA) + n(AWBWC)
n(A) + n(B) = n(AUB) + n(AWB)
n(A) + n(B) + n(C) =n(AUBUC) + n(AWB) + n(AWC) + n(BWC) – n(AWBWC)
Contoh Soal
Syarat lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5.Jika banyaknya siswa yang tidak lulus ada 8 orang, tentukan:
Berapa siswa yang nilai matematikanya kurang dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai matematikanya saja kurang dari 4,5 dan nilai bahasa inggrisnya lebih dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai bahasa inggrisnya saja kurang dari 4,5 dan nilai matematikanya lebih dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai matematikanya lebih dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai bahasa inggrisnya lebih dari 4,5?
Buatlah diagram Vennnya!
Data yang diketahui:
- Banyaknya siswa = 50 Fn(S)
Tidak lulus bahasa inggris (TI) = 15 F n(TI)
Tidak lulus bahasa inggris dan matenatika = 8 F n(TI∩TM)
Siswa yang lulus = 20 F n(TIU TM)’
Yang ditanya :
Tidak lulus matematika Fn(TM)
Tidak lulus matematika saja (B. Inggris lulus) Fn(TM) saja
Tidak lulus B. Inggris saja (Matematika lulus)F n(TI)saja
Yang lulus matematika F n(TM)'
Yang lulus B. Inggris F n(TI)'
Gambar diagram Venn
Jawab:
d n(TI U TM)= n(S) - n(TIUTM)’
= 50 – 8
= 7
dTidak lulus matematika:
n(TI∩TM) = n(TI) + n(TM) - n(TI U TM)
8 = 15 + n(TM) – 30
38 = 15 + n(TM)
n(TM) = 23
Tidak lulus matematika saja (B. Inggris lulus) :
n(TM) - n(TI∩TM) = 23 – 8
n(TM) saja = 15
Tidak lulus B. Inggris saja (Matematika lulus) :
n(TI) - n(TI∩TM) = 15 – 8
n(TI) saja = 7
Yang lulus matematika :
n(TI U TM)’ + n(TI) = 20 + 7
n(TM)' = 27
Yang lulus B. Inggris :
n(TI U TM)’ + n(TM) = 20 + 15
n(TI)' = 35
Gambar diagram Venn :
Keterangan: - Tidak lulus bahasa inggris = TI
- Tidak lulus matematika = TM
1. Kesamaan Himpunan
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari himpunan B dan setiap anggota B merupakan anggota dari himpunan A atau AÌ B dan B Ì A bisanya ditulis dengan A = B dibaca (A himpunan bagian dari B).
Contoh :
a. A= {1,2,3,4,5}dan B = {3, 4, 5, 2,1}, maka himpunan A = himpunan B atau A = B, maka {1 , 2, 3, 4, 5}= i3, 4, 5, 2, 1}, karena setiap anggota A juga menjadi anggota B dan setiap anggota B juga menjadi anggota A.
b. Jika A = {0, 1} dan B = {x | x (x-1) = 0}, maka, A = B.
c. Jika A = {3, 5, 8, 5 }dan B = {5, 3, I}, maka A = B.
Catatan
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka 4 ≠ B.
Notasi : A = B ↔ A Í B dan B Í A.
2. Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota dari B.
a. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }dan B = { 0, 5, 6, 7, 8 }, maka himpunan A dan himpunan B berpotongan, karena ada anggota A menjadi anggota B yakni 5.
b. Diketahui D = { x | x2 + 3x + 2 = 0) dan E = { x | x2 - x - 6 = 0 }, karena nilai D = { -1 , -2 }dan E = { -2, 3 }, jadi ada anggota D menjadi anggota E yakni -2, maka D berpotongan dengan E.
Dalam Diagram Venn untuk Contoh 1
A berpotongon B
Catatan
Dibeberapa buku himpunan yang berpotongan juga disebut himpunan bersekutu
3. Himpunan Lepas
Dikatakan dua Himpunan A dan B lepas jika dan hanya jika kedua himpunan tersebui tidak ada anggota keduanya sama, A dan B lepas biasanya ditulis (A || B)
Contoh:
a. X = himpunan bilangan bulat positif dan Y = himpunan bilangan bulat negatif, karena anggota X tidak ada yang menjadi anggota di Y maka X dan Y dikatakan Lepas (X || Y)
b. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 }dan B = { 6, 7, 8, 9 }karena anggota A tidak ada yang menjadi anggota B, maka A lepas dengan B atau (A || B)
Dalam diagram Venn untuk contoh 2
(A || B)
Catatan
Pada betapa buku himpunan yang lepas disebut himpunan disjoint dan dinotasikan dengan (A // B).
4. HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A disebut himpunan B bagian (subset) dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.
Relasi ini dinyatakan dengan notasi A c B (baca A himpunan bagian atau subset dari ). Buku teks ini menggunakan kedua istilah tersebut.
Contoh :
1. C = {1,2,3} adalah himpunan bagian dari Q = {1,3,5,7,9} karena 1,3,5 yang yang anggota C juga menjadi anggota Q.maka dapat di tulis C c Q.
2. Dik D = { a,i,o,e} dan E = {i,a,e,o}. Karena a,i,o,e yang menjadi anggota D juga menjadi E,maka dapat di tulis D c E.
3.Dik G = {bilangan bulat genap} dan B + {bilangan bulat}. Maka G c B
5.HIMPUNAN YANG EKIVALEN
Dua himpunan A dan B di katakan ekivalen (ditulis A∞B) jika himpunan banyak anggota kedua himpunan itu sama.
Contoh :
1. Tentukan P = {1,2,3} dan Q = {a,b,c}, maka P ∞ Q karena n(P) = n (Q)
OPERASI HIMPUNAN
Operasi Himpunan
Jenis Operasi
Hukum dan sifat-sifat Operasi
1
Gabunan (Union)
A U B = B U A disebut sifat komutatif gabungan
(A U B) U C = A U (B U C) disebut sifat asosiatif gabungan
A UØ = A
A U U = U
A U A = A
A U A’ = U Disebut sifat komplemen gabungan
2
Irisan (intersection)
A W B = B W A disebut sifat komutatif irisan
A W A = A
A W = Ø
A W U = A
A W A’ = Ø disebut sifat komplemen irisan
(A W B) W C = A W (B W A) disebut sifat asosiatif irisan
2
Distributif
A U (B W C) = (A U B) W (A U C); disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan.
A W (B U C) = (A W B) U (A W C); disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.
3
Selisih
A – A = Ø
A – Ø = A
A – B = A W B’
A – (BUC) = (A – B)W (A – C)
A – (B W C) = (A – B)U(A – C)
4
Komplemen
(A’)’ = A
U’ = Ø
Ø’ = U
AUA’ = U
AWA’ = U
AWA’= Ø
5
Banyaknya Anggota
n(A) + n(B) K n(AUB)
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AWB)
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AWB) – n(BWC) – n(CWA) + n(AWBWC)
n(A) + n(B) = n(AUB) + n(AWB)
n(A) + n(B) + n(C) =n(AUBUC) + n(AWB) + n(AWC) + n(BWC) – n(AWBWC)
Contoh Soal
Syarat lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5.Jika banyaknya siswa yang tidak lulus ada 8 orang, tentukan:
Berapa siswa yang nilai matematikanya kurang dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai matematikanya saja kurang dari 4,5 dan nilai bahasa inggrisnya lebih dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai bahasa inggrisnya saja kurang dari 4,5 dan nilai matematikanya lebih dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai matematikanya lebih dari 4,5?
Berapa siswa yang nilai bahasa inggrisnya lebih dari 4,5?
Buatlah diagram Vennnya!
Data yang diketahui:
- Banyaknya siswa = 50 Fn(S)
Tidak lulus bahasa inggris (TI) = 15 F n(TI)
Tidak lulus bahasa inggris dan matenatika = 8 F n(TI∩TM)
Siswa yang lulus = 20 F n(TIU TM)’
Yang ditanya :
Tidak lulus matematika Fn(TM)
Tidak lulus matematika saja (B. Inggris lulus) Fn(TM) saja
Tidak lulus B. Inggris saja (Matematika lulus)F n(TI)saja
Yang lulus matematika F n(TM)'
Yang lulus B. Inggris F n(TI)'
Gambar diagram Venn
Jawab:
d n(TI U TM)= n(S) - n(TIUTM)’
= 50 – 8
= 7
dTidak lulus matematika:
n(TI∩TM) = n(TI) + n(TM) - n(TI U TM)
8 = 15 + n(TM) – 30
38 = 15 + n(TM)
n(TM) = 23
Tidak lulus matematika saja (B. Inggris lulus) :
n(TM) - n(TI∩TM) = 23 – 8
n(TM) saja = 15
Tidak lulus B. Inggris saja (Matematika lulus) :
n(TI) - n(TI∩TM) = 15 – 8
n(TI) saja = 7
Yang lulus matematika :
n(TI U TM)’ + n(TI) = 20 + 7
n(TM)' = 27
Yang lulus B. Inggris :
n(TI U TM)’ + n(TM) = 20 + 15
n(TI)' = 35
Gambar diagram Venn :
Keterangan: - Tidak lulus bahasa inggris = TI
- Tidak lulus matematika = TM
Sumber : https://plus.google.com/113189514880073686998/posts/bwefT4LZKdo
RELASI ANTAR HIMPUNAN
![RELASI ANTAR HIMPUNAN]()
Reviewed by Si pipi tembem
on
Maret 18, 2019
Rating:
Tidak ada komentar